Автор: dist (213.85.32.---)
Дата: 07-06-04 13:41
Так называемый ‘первый замечательный предел’.
Позор современного математического преподавания.
Низкопробное шулерство.
‘Математики’, как бы претендуя на как бы ‘математическую строгость’, пускают позорную пыль в глаза студентам. Открываем, к примеру, Зорича (т.1, c. 127).
lim (sin(x)/x) = 1 при x ~~> 0.
Зорич справедливо отмечает, что «здесь мы апеллируем к школьному определению синуса как ординаты точки на единичной окружности. Полнота такого определения (и корректность, добавлю я - dist), всецело зависят от того, насколько тщательно установлена связь между поворотами и действительными числами (замечу сразу – не тщательно; этот момент в преподавании вообще обходится стыдливым молчанием - dist). Поскольку сама система действительных чисел в школе не была описана достаточно подробно (вообще никак – dist), необходимо уточнить определение sin(x). В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые сейчас будут опираться на наглядность. (Надо ли напоминать, что это самое ‘свое время’ так никогда и не наступает? – dist).
Продолжаем цитировать Зорича.
а) Покажем, что cos(x)^2 < sin(x)/x < 1 при 0<|x|
Далее приводится стандартный чертеж с треугольником, вписанным в сектор, и с апелляцией к геометрической наглядности, четности оцениваемых функций и применением формул для площади треугольника (один раз) и площади сектора (дважды) получается требуемое неравенство.
Затем доказывается, что |sin(x)| < |x| при |x|>0 и что lim sin(x) = 0 при x~~>0.
Заканчивается все тем, что cos(x)^2=1-sin(x)^2 (теорема Пифагора) и что
lim sin(x)^2=lim sin(x)*lim sin(x) (теорема о пределе произведения). Финальный аккорд – переход к пределу в исходной цепочке неравенств (теорема ‘о двух милиционерах’).
Вот такая суета вокруг дивана.
Дело в том, что формула для площади сектора S(x) = x*R^2/2 в школе НЕ ВЫВОДИТСЯ.
А в ВУЗе получается при интегрировании функции, задающей окружность, c использованием первого замечательного предела (эквивалентного тому, что производная sin(x) равна cos(x).
Ясно, что первый замечательный предел ЗАШИТ в формуле площади сектора, который Зорич (и другие ‘педагоги’) НЕ ДОКАЗЫВАЕТ, а все остальные шулерские пассы – это просто шаманские пляски, затушевывающие то позорное обстоятельство, что доказываемое утверждение уже заложено в условие, и его просто в конце достают, как фигу из кармана, НЕ ДОКАЗЫВАЯ.
Мало того, что это банальный обман, это еще и порочный круг, с которым математика обязана бороться.
Но не борется.
Этот пример я привел для того, чтобы показать – ситуация с точными науками гораздо хуже (и страшнее), чем с историей.
Кризис ‘научного’ знания – налицо.
Единственный выход – принятие Новой Парадигмы и создание нового научного знания.
На сей раз без кавычек.
|
|
