Эмпирический факт/предположение номер 1: Мы знаем траекторию движения тела (материальной точки), если мы знаем положение тела и его скорость в начальный момент времени t=0.

Это означает, что мы можем записать уравнение движения тела, как

1) r(t) =R(t, r₀, v₀).

Жирным цветом обозначаем вектора, r₀ - начальное положение частицы в момент времени t=0,
а v₀ - ее начальная скорость.


Предположим, что траектория частицы дифференцируема по времени два раза.

Будет разумно, если мы составим дифференциальное уравнение движения частицы.
Пояснение: проще иметь дело с общим дифференциальным уравнением с произвольными начальными условиями, чем каждый раз получать/угадывать уравнение движения частицы.

Для этого мы продифференцируем уравнение 0) два раза и получим следующие уравнения:

2) r'(t) =R''(t,t₀, r₀, v₀)
3) r''(t) =R''(t,t₀, r₀, v₀)

Итого мы получили систему из 3-х векторных уравнений.

Выразим из векторных уравнений 0) и 1) r₀, v₀ и получим выражения

r₀=f(r(t), v(t), t)

и

v₀=g(r(t), v(t), t).

Поставим эти выражения в векторное уравнение 3) и получим:


4) r''(t) = G(r(t), v(t), t).

Чтобы не потерять информацию запишем также начальные условия:

r(0)=r₀,
r'(0)=v₀.

Мы почти получили второй закон Ньютона.


Эмпирический факт/предположение номер 2: При одинаковых внешних условиях разные тела движутся с разным ускорением.

Чтобы учесть этот факт, введем величину m, такую что при одинаковых условиях, чем больше величина m, тем с меньшим ускорением движется тело.

Чтобы учесть это в нашем уравнении движения 4), умножим обе его части на m и получим:

5) mr''(t) = mG(r(t), v(t), t)= F(r(t), v(t), t).

Назовем функцию F силой.

Сила и является причиной того, что тело не покоится или не движется с постоянной скоростью (скоростью, а не модулем скорости).


Уравнение 5) это и есть Второй Закон Ньютона.

Выразим ускорение тела через силу и массу:

6) r''(t) = (F(r(t), v(t), t))/m.

Из уравнения 6) следует, что при равной силе более массивные тела имеют меньшее ускорение.

Это и есть расшифровка выражения "масса является мерой инертности".

Чем больше масса, тем более инертнее ведет себя тело (его сложнее ускорить).