> На сторонах произвольного треугольника построены равносторонние треугольники
> Требуется доказать, что их центры лежат на вершинах равностороннего треугольника.

Пользователь: Виктор Ф.
> Есть доказательство для равнобедренного треугольника.
> Для произвольного пока не получается.

Пользователь: Эдуард
> А я пока доказал только тригонометрически. Что долго, нудно и противно.
> А алгебраически (тригонометрически) в принципе любые такие задачи тупо решаются.

Пользователь: Wlad_II
> Исходил из того, что должны быть равны углы.
> Формулы - многоэтажные и четвёртые степени фигурируют.
-------------

Я тоже геометрически не могу.
А тригонометрически смог.

Сначала я действовал так:

Из вершины треугольника С (к ней примыкают стороны "a" и "b", между ними угол С), откладываем наружу два угла по 30 градусов.
На расстояниях a/(2cos30) и b/(2cos30) от точки С отмечаем точки M1 и M2.
Это и есть центры двух равносторонних треугольников, построенных на сторонах a и b.
Угол между ними С+60 (С это угол, который был в изначальном треугольнике).

Теперь по теореме косинусов находим расстояние между точками M1 и M2.
a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C+60)
И всё это надо ещё умножить на коэффициент, в который входит соs30.
[a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C+60)]*k

Косинус (C+60) преобразуем, как написано в учебниках.
После этого преобразования остаётся cosC, перед которым пропадает множитель 2.

И прибавляется слагаемое, где есть sinC
D = 2*a*b*sinC*sin60

Синус С из него можно заменить на сторону "c", исходя из того, что по теореме синусов синусы пропорциональны противоположным сторонам
D = a*b*c*n
где n постоянный коэффициент.

В итоге имеем:
Расстояние (в квадрате) между M1 и M2
[a^2 + b^2 - a*b*cosC]*k + D

Вроде бы несложно.
Но к сожалению пользы от этого большой нет, потому что для двух других расстояний мы таким же образом получим формулы:

[b^2 + c^2 - b*c*cosA]*k + D
[c^2 + a^2 - c*a*cosB]*k + D

И как их друг с другом сравнивать - непонятно.
Если тот, кто придумал эту задачу, не шутил, то все эти три выражения должны быть равными.
Причем для любых треугольников.
Но как в этом убедиться я не знаю.
-------------

Далее пошел немного другим путем.
И отказался от углов, оставив одни координаты.
Разместив треугольник так:

Точка С треугольника лежит в начале координат (x=0, y=0).
Точка A лежит на оси X, на расстоянии "2a" от точки С. Её координаты (2a,0)
Точка B лежит между C и A и выше оси X. Её координаты (2m,2h).

Коэффициент 2 я приписал для удобства, чтобы половина отрезка имела величину не "a/2", а просто "a".

Таким образом имеется изначальный треугольник ACB
который характеризуется тремя величинами: a, m, h

Затем немного постаравшись определил координаты центров трех равносторонних треугольников.

Из принципа: из середины стороны треугольника проводится прямая, перпендикулярная этой стороне.
И на расстоянии (L/2)*tg30 (где L длина стороны треугольника) отмечается точка, которая и является центром равностороннего треугольника, построенного на этой стороне.

Например центр, который находится под нижней (горизонтальной) стороной треугольника имеет координаты:
x = a
y = -ka

где:
k = tg30
k^2 = 1/3

А центр, который находится около стороны CB, имеет координаты:
x = m-kh
y = h+km

А третий центр, если кому захочется, можно и самому определить.

И затем между этими тремя центрами определил три расстояния (вернее расстояния в квадрате)
(r12)^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2

Получились три выражения.
Не слишком длинные, но и не совсем простые.
Во всяком случае поначалу было не похоже, что между ними есть полная одинаковость.

Особенно раздражали члены типа (1+k^2)*a^2 и 4*k*a^2.

Но потом дошло, что k это tg30, то есть k^2=1/3
И поэтому 1+k^2 это то же самое что 4k.
И после этого всё сразу упростилось, и во всех трех парах получилось одинаковое расстояние.

Если кому интересно, то расстояние это равно
r^2 = 4*k^2*[a^2 + m^2 + h^2 - am) + 4kha

Здесь только надо помнить, что "a, m, h" это была не вся длина, а половина.
А если считать что "a, m, h" это вся длина, то тогда множитель 4 надо убрать.
А k^2 можно заменить на 1/3

r^2 = (1/3)*[a^2 + m^2 + h^2 - am) +(1/Sqrt(3))*h*a

1/Sqrt(3) это единица разделить на корень из 3, то есть tg30.

m^2+h^2 это квадрат длины стороны треугольника СB
Можно его обозначить как b^2.

"am" это произведение длины отрезка "а", на проецию отрезка "b" на отрезок "a"
Можно это заменить на a*b*cosC.

В итоге получается
(1/3)*(a^2 + b^2 - a*b*cosC) + (1/Sqrt(3))*h*a

Это то же самое выражение, что было в самом начале
(a^2 + b^2 - a*b*cosC)*k + D

С той лишь разницей, что теперь оно оказалось независимым от того, какие для этой формулы выбирать стороны (или какой угол).

То есть получается что
a^2 + b^2 - a*b*cosC
это для треугольника какая-то инвариантная величина.
Что она означает, я не знаю.
Скорее всего должно быть что-то очень простое.
Как например член D, или h*a, который есть площадь треугольника (если не обращать внимание на числовой коэффициент).