> На сторонах произвольного треугольника построены равносторонние треугольники.
> Требуется доказать, что их центры лежат на вершинах равностороннего треугольника.

Напишу для этой задачи простое тригонометрическое решение.
Проще которого наверное быть не может.

Пользователь: Виктор Ф. это решение здесь уже в принципе написал:
[edgeway.ru]
Но у него там много лишнего.
А основное написано не достаточно подробно.
А кроме того у него картинки больно пугающие.
И к тому же он там не все ошибки исправил.

Рисовать треугольник не буду.
Но для наглядности поясню словами.

Треугольник ABC.
Сторона треугольника AB горизонтальна.
Точка A слева, точка B справа.
Вершина C лежит выше стороны AB.
Сторона AB имеет длину c.
Сторона AC = b
Сторона BC = a

Построим на сторонах, примыкающих к A, равносторонние треугольники.
Обозначим центры этих треугольников Mb и Mc.
Чтобы найти расстояние от этих центров до точки точки A надо взять половину стороны треугольника и разделить её на косинус 30 градусов:

AMb = (b/2)/(cos30) = b/Sqrt(3)
AMc = (c/2)/(cos30) = c/Sqrt(3)

Sqrt(3) это квадратный корень из 3
cos30 = Sqrt(3)/2

Рассмотрим треугольник Mb-A-Mc

Угол между отрезками AMb и AMc в нём равен A+60.
A - угол в треугольнике ABC
К нему прибавляются два угла по 30 градусов.

По теореме косинусов пишем чему равен квадрат расстояния между точками Mb и Mc

r(bc)^2 = (1/3)*(b^2+c^2-2*b*c*cos(A+60))

Преобразуем cos(A+60) по формуле косинуса суммы.
После этого преобразования остаётся cosC, перед которым пропадает множитель 2.
И прибавляется слагаемое, где появляется sinC
Обозначим это слагаемое D

r(bc)^2 = (1/3)*(b^2+c^2-b*c*cos(A) + D)

D = 2*b*c*sinA*sin60 = Sqrt(3)*a*b*sinC

Вспоминаем далее, что по теореме синусов
(sinA)/a = (sinB)/b = (sinC)/c = n, где n - постоянная.
И заменяем sinA на n*a.

D = Sqrt(3)*n*a*b*c

r(bc)^2 = (1/3)*(b^2+c^2-b*c*cos(A) + D)

Это, напомню, квадрат расстояния между центрами равностороних треугольников, построенных на сторонах AC (b) и AB (c).
..............

Найдем теперь таким же образом квадрат расстояния между центрами равностороних треугольников, построенных на сторонах BC (a) и BA (c).

Получим:
r(ac)^2 = (1/3)*(a^2+c^2-a*c*cos(B) + D)

Теперь два этих выражения
r(bc)^2 и r(ac)^2
надо сравнить и показать что они равны.

Для этого прежде всего избавимся от члена
D=n*a*b*c, который всегда один и тот же.
И от множителя 1/3

И будем стараться доказать, что
b^2+c^2-b*c*cos(A) = a^2+c^2-a*c*cos(B)

Ранее здесь я этого сделать не смог:
[edgeway.ru]
Но потом придумал.
И Пользователь Виктор Ф. тоже придумал, причем не так как я.

Приведу оба способа доказать равенство двух этих выражений.

Пользователь Виктор Ф. заметил, что имея два выражения
F = b^2+c^2-b*c*cos(A) и
a^2 = b^2+c^2-2*b*c*cos(A)
где первое это интересующее нас преобразованное расстояние,
а второе это теорема косинусов,
можно от косинуса избавиться, и тогда окажется, что
2*F = a^2+b^2+c^2
И это значение F будет очевидно всегда одинаковым.
Отсюда сразу получается, что равны будут не только два интересующих нас расстояния, но и третье тоже.
..............

Чтобы доказать другим способом равенство выражений
F1 = b^2+c^2-b*c*cos(A) и
F2 = a^2+c^2-a*c*cos(B)
надо из вершины С опустить на сторону AB перпендикуляр.

Пусть этот перпендикуляр пересечёт сторону AB в точке P.
Длина CP пусть будет h.
Длину отрезка AP обозначим mb.
Длину отрезка BP обозначим ma.

Нетрудно видеть, что
mb=b*cosA
ma=a*cosB

Подставим эти равенства в интересующие нас выражения:

F1 = b^2+c^2-b*c*cos(A) = b^2+c^2-c*mb
F2 = a^2+c^2-a*c*cos(B) = a^2+c^2-с*ma

Заменим по теореме Пифагора:
b^2 на h^2+(mb)^2
a^2 на h^2+(ma)^2

b^2+c^2-c*mb = h^2+c^2+(mb)^2-c*mb = h^2+c^2 - (mb)*(c-mb)
a^2+c^2-с*ma = h^2+c^2+(ma)^2-c*ma = h^2+c^2 - (ma)*(c-ma)

И обратим внимание на то, что
mb+ma=c

То есть:
c-mb=ma
c-ma=mb

В результате чего получаем, что оба выражения равны одной и той же величине:
F1 = F2 = h^2+c^2-(ma)*(mb)

Правда в этом случае мы не получаем сразу доказательства равенства для всех трёх расстояний.
Но это ничего не осложняет.
Потому что доказав, что первое расстояние равно второму, далее таким же образом доказывается, что второе расстояние равно третьему. А значит и первое тоже равно третьему.
...............

Заодно кстати таким образом обнаруживается, что в треугольнике величина
h^2+c^2-(ma)*(mb)
является инвариантом.
То есть не зависит от того, из какой вершины проводить высоту.