Уважаемая Москва,_продолжающая_хорошеть!
Ваша реплика в адрес Ильяса «И кроме того равносторонний треугольник не только смещён относительно исходного, но и перекошен. Пользователь Эдуард правильно отметил, что нужно смещение и поворот. Но куда и как вращать и смещать - непонятно» сдвинула меня с мертвой точки, на которой я остановился с решением задачи с треугольниками, найдя это решение для произвольного РАВНОБЕДРЕННОГО* треугольника.

*исправлено

Сначала я приведу это решение, а затем покажу. как его распространить на случай произвольного треугольника.

На рисунке показан равносторонний треугольник ABC с углом при основании a. В предельном случае треугольника AB_оC с a=0 (на рисунке обозначено как 1) доказательство тривиально: центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах АB_о, B_оС и АС образуют равносторонний треугольник со стороной, равной половине АС (на рисунке малый коричневый).
Для случая a не равного нулю (на рисунке обозначено как 2) видно, что новый треугольник, оставаясь равносторонним, лишь увеличивает свои размеры обратно пропорционально косинусу альфа (AB_о/АB=cosa).

Теперь обратимся к произвольному треугольнику с углами a, b и g.
На рисунке это треугольник ABC со сторонами a, b и c.

Для доказательства оттолкнемся от равностороннего треугольника GBC, в котором угол при вершине B равен углу g при вершине C. Для этого треугольника выше было доказано, что центры равносторонних треугольников, построенных на его сторонах, образуют равносторонний треугольник (на рисунке он показан коричневым цветом).
На рисунке видно, что при переходе к искомому треугольнику ABC происходит поворот по часовой стрелке вокруг вершины F и увеличение размеров треугольника с вершинами в центрах равносторонних треугольников, построенных на сторонах a, b и c (на рисунке он показан красным цветом).
Доказательство равенства сторон этого треугольника DEF основано на теореме синусов и теореме косинусов, согласно которым для произвольного треугольника со сторонами a, b и c и углами a, b и g выполняются следующие равенства:
a/sina=b/sinb=c/sing
a²=b²+c²-2bccosa
b²=a²+c²-2accosb
c²=a²+b²-2abcosg
По теореме косинусов для стороны FD в треугольнике FCD имеем:
FD²=FC²+CD²- 2FC*CDcos(g+60^o)
Подставив в это выражение длины этих 2/3 медиан (серые на рисунке) соответствующих равносторонних треугольников со сторонами a и b, получим
FD²=a²/3+b²/3-abcosg/3+abV3sing/3 (здесь V3 - это корень из трех)
В этом выражении член с косинусом выразим по теореме косинусов через квадраты сторон треугольника ABC и получим
FD²=a²/6+b²/6 +с²/6+abV3sing/3
Аналогичные выражения получаются для двух других сторон треугольника DEF:
DE²= a²/24+b²/6 +с²/6+bcV3sina/3
EF²= a²/24+b²/6 +с²/6+acV3sinb/3
Последний шаг. По теореме синусов c*sina=a*sing и c*sinb=b*sing.
Отсюда получается, что FD²= DE²= EF²= a²/6+b²/6 +с²/6+abV3sing/3 **
Ч.Т.Д.

** исправлены арифметические ошибки, на которые мне указал KakMoskwaPoxorocela [edgeway.ru]