> Пусть вся плоскость выкрашена в два цвета.
> Доказать, что на ней найдутся две точки на расстоянии 1 метр, выкрашенные в разные цвета.

Купидон правильно написал:
Если нет разноцветных точек на расстоянии 1 метр, то и вообще не будет разноцветных точек.

Но только, возможно, нужно пояснение:
Сначала исключаются из плоскости точки, находящиеся на расстоянии 1 метр от исходной точки.
Это окружность радиусом 1 метр.
Потом исключаются точки, находящиеся на растоянии 1 метр от точек этой окружности.
Для этого вокруг каждой точки первой окружности рисуется окружность. И получается уже не окружность, а круг, радиусом 2 метра.
Далее рисуются окружности вокруг всех точек этого круга. И получается круг радиусом 3 метра. И так далее.

***********
[edgeway.ru]
Пользователь: Купидон
Надо идти от обратного.
Пусть нам надо не допустить, чтобы на расстоянии 1м были точки разных цветов. Берём точку одного цвета. Рисуем вокруг неё окружность радиусом 1м. Потом получим круг радиусом 2м того же цвета. В бесконечности вся плоскость станет монохромной, что противоречит условиям задачи, и поэтому должны быть точки разного цвета на расстоянии 1м.
--------------

Я же предложу другое решение.

Согласно условию есть хотя бы одна точка одного цвета и хотя бы одна точка другого цвета.
Берём любую такую разноцветную пару точек и соединяем их любой конечной ломаной линией, у которой каждый отрезок имеет длину 1 метр.
Очевидно что какие-то две соседние точки в этой линии будут иметь разные цвета.

Если есть сомнения что такую ломаную линию можно всегда построить, то можно поступить немного иначе:
Две исходные разноцветные точки соединим прямой линией и будем откладывать на этой прямой отрезки длиной в 1 метр от первой точки до второй, пока не приблизимся ко второй точке на расстояние меньше одного метра.
Есть какая-то аксиома о том, что так можно сделать всегда.
А после этого добавим ещё одну точку (она уже не будет лежать на прямой) так, чтобы она была на расстоянии 1 метр и от последней точки последовательности, и от второй исходной точки.
------------

[edgeway.ru]
Пользователь: McCar
> Рассматриваем границу раздела цветов как ось симметрии

Пользователь: Эдуард
> Нет никакой границы цветов.
> Просто каждая точка на плоскости может иметь тот или иной цвет

Самый простой случай, при котором границ нет совсем, получится если точки окрашивать в зависимости от того являются ли координаты точки рациональными или иррациональными.